10 Nejlepší výsledky matematiky

Mnoho lidí je odkládáno tajnými symboly a přísnými pravidly matematiky, vzdát se problému, jakmile vidí obě čísla a dopisy. Zatímco matematika může být občas hustá a obtížná, výsledky, které lze prokázat, jsou někdy krásné, vtipné, nebo prostě nečekané. Výsledky jako:

10

Věta o 4 barvách

Věta o čtyřech barvách byla poprvé objevena v roce 1852 člověkem jménem Francis Guthrie, který se v té době pokoušel zbarvit v mapě všech okresů Anglie (to bylo předtím, než byl vynález vynalezen, nebylo toho hodně dělat). Objevil něco zajímavého - potřeboval jen čtyři barvy, aby zajistil, že žádné okresy, které sdílejí hranici, nebudou stejné barvy. Guthrie se přemýšlel o tom, zda se jedná o nějakou mapu nebo ne, a ta otázka se stala matematickou zvědavostí, která se let nevyřešila.

V roce 1976 (o sto let později) tento problém nakonec vyřešili Kenneth Appel a Wolfgang Haken. Důkaz, který našli, byl poměrně složitý a zčásti se spoléhal na počítač, ale uvádí, že v jakékoliv politické mapě (řekněme o státech) jsou zapotřebí jen čtyři barvy, které mají barvit každý jednotlivý stát, aby žádné státy stejné barvy Kontakt.

9

Brouwerova věta o pevných bodech

Tato věta pochází z matematické větve známé jako Topologie a objevil ji Luitzen Brouwer. Zatímco jeho technický výraz je zcela abstraktní, má mnoho fascinujících reálných důsledků. Řekněme, že máme obrázek (například Mona Lisa) a vezmeme si kopii. Můžeme pak dělat, co chceme, na tuto kopii - zvětšit ji, zmenšit ji, otočit, rozdrtit ji, cokoli. Brouwerova věta o pevném bodě říká, že pokud umístíme tuto kopii na vrchol našeho původního obrázku, musí být na kopii alespoň jeden bod, který přesně překrývá stejný bod originálu. Může to být součást Monovy oko, ucho nebo možný úsměv, ale musí existovat.

To také funguje ve třech rozměrech: Představte si, že máme sklenici vody a my vezmeme lžíci a rozmícháme to, kolik chceme. Podle Brouwerovy věty bude alespoň jedna molekula vody, která se nachází na přesném místě, kde byla dříve, než jsme začali míchat.

8

Russellův paradox

Foto úvěr: Lonpicman

Na přelomu 20. století mnoho lidí zaujalo nová větev matematiky s názvem Set Theory (kterou budeme v tomto seznamu trochu později). V podstatě je množina objektů. Přemýšlení o době bylo to, že se všechno mohlo změnit na sadu: Sada všech druhů ovoce a soubor všech prezidentů USA byly oba zcela platné. Navíc, a to je důležité, množiny mohou obsahovat další množiny (jako sada všech sad v předchozí větě). V roce 1901 slavný matematik Bertrand Russell dělal docela splash, když si uvědomil, že tento způsob myšlení měl fatální chybu: a to, že nic nemůže být dělán do souboru.

Russell se rozhodl získat meta o věcech a popsal soubor, který obsahoval všechny soubory, které se neobsahují. Sada všech druhů ovoce se sama neobjevuje (porota je stále na tom, zda obsahuje rajčata), takže to může být zahrnuto v Russellově sadě spolu s mnoha dalšími. Ale co Russell má sám? Neobsahuje sama sebe, takže by to mělo být také zahrnuto. Ale počkejte ... teď to samo o sobě obsahuje, tak to samozřejmě musíme vyjít. Ale teď je musíme vrátit ... a tak dále. Tento logický paradox způsobil úplnou reformu Teorie množin, jedné z nejdůležitějších odvětví matematiky dnes.

7

Fermatova poslední věta

Pamatuješ na větu Pythagorovy věty ze školy? Týká se pravoúhlých trojúhelníků a říká, že součet čtverců dvou nejkratších stran se rovná čtverci nejdelší strany (x čtvercový + y čtvercový = z čtverec). Pierre de Fermatova nejznámější věta je, že stejná rovnice není pravdivá, pokud nahradíte čtverečky libovolným číslem větším než 2 (nemůžete říct x krychle + y cubed = z kostičky, například), dokud x, y, a z jsou kladná celá čísla.

Jak sám Fermat napsal: "Objevil jsem opravdu úžasný důkaz toho, který je příliš úzký na to, abych ho mohl obsahovat." To je opravdu špatné, protože zatímco Fermat představoval tento problém v roce 1637, poměrně dlouho to nebylo dokázáno. A na chvíli, myslím, že to bylo dokázáno v roce 1995 (358 let později) mužem jménem Andrew Wiles.

6

Argument o Doomsday

Je pravděpodobné, že většina čtenářů tohoto článku jsou lidé. Jako člověk bude tento záznam zvlášť odvážný: matematika může být použita k určení, kdy náš druh vyhyne. Použití pravděpodobné, jakkoli.

Argument (který byl kolem 30 let a byl několikrát objeven a znovu objeven) v podstatě říká, že doba lidstva je téměř nahoru. Jedna verze argumentu (připisovaná astrofyzikovi J. Richardovi Gottovi) je překvapivě jednoduchá: Pokud člověk považuje úplnou životnost lidského druhu za časovou osu od narození k smrti, pak můžeme určit, kde na této časové ose jsme nyní.

Vzhledem k tomu, že právě teď je jen náhodný bod naší existence jako druhu, pak můžeme s 95% přesností říct, že jsme někde ve střední části 95% časové osy. Pokud říkáme, že právě teď jsme přesně 2,5% lidské existence, dostaneme nejdelší očekávanou délku života. Pokud říkáme, že jsme 97,5% do lidské existence, dává nám to nejkratší očekávanou délku života. To nám umožňuje získat rozsah očekávané životnosti lidské rasy. Podle Gott je 95% pravděpodobnost, že lidské bytosti zemřou někdy mezi 5100 lety a 7,8 miliony let. Takže jdi, člověče - dostaň se do toho seznamu kbelíku.

5

Neeuklidovská geometrie

Jiný kousek matematiky, který si můžete zapamatovat ze školy, je geometrie, která je součástí matematiky, kde je bodování ve vašich poznámkách. Geometrie, kterou je většina z nás známá, se nazývá euklidovská geometrie a je založena na pěti poměrně jednoduchých samozřejmých pravdách nebo axiomech. Je to pravidelná geometrie čáry a bodů, kterou můžeme čerpat na tabuli, a po dlouhou dobu to bylo považováno za jediný způsob, jak by geometrie mohla fungovat.

Problémem však je, že samozřejmé pravdy, které Euclid načrtly před více než 2000 lety, nebyly pro každou tak samozřejmé. Byla tam jedna axiom (známá jako paralelní postulát), která nikdy neměla pravdu s matematiky, a po staletí se mnoho lidí snažilo sladit ji s ostatními axiomy. Na začátku 18. století se zkoušel odvážný nový přístup: pátá axiom byla prostě změněna na něco jiného. Namísto zničení celého systému geometrie byla objevena nová, která se nyní nazývá hyperbolická (nebo Bolyai-Lobachevská) geometrie. Toto způsobilo úplný posun paradigmat ve vědecké komunitě a otevřelo brány pro mnoho různých typů neeuklidovské geometrie. Jeden z nejvýznamnějších typů se nazývá Riemannian geometry, který se používá k popisu nikdo jiný než Einsteinova teorie relativity (náš vesmír, dosud zajímavě neuplatňuje euklidovskou geometrii!).

4

Eulerův vzorec

Euler's Formula je jedním z nejsilnějších výsledků tohoto seznamu a je to kvůli jednomu z nejplodnějších matematiků, kteří kdy žili, Leonhard Euler. Během svého života vydal více než 800 příspěvků - mnoho z nich bylo slepých.

Jeho výsledek vypadá jednoduše na první pohled: e ^ (i * pi) + 1 = 0. Pro ty, které nevědí, jak e, tak pi jsou matematické konstanty, které se objevují na nejrůznějších neočekávaných místech, a já znamená imaginární jednotku, číslo, které se rovná odmocnině od -1. Pozoruhodná věc o Eulerově Formula je, jak dokáže kombinovat pět nejdůležitějších čísel ve všech matematických (e, i, pi, 0 a 1) do tak elegantní rovnice. To bylo voláno fyzikem Richardem Feynmanem "nejpozoruhodnějším vzorem v matematice" a jeho význam spočívá v jeho schopnosti sjednotit více aspektů matematiky.

3

Turingův univerzální stroj

Žijeme ve světě ovládaném počítači. Čtete tento seznam v počítači právě teď! Je samozřejmé, že počítače jsou jedním z nejdůležitějších vynálezů 20. století, ale může vás překvapit, že víte, že počítače ve své podstatě začínají v oblasti teoretické matematiky.

Matematik (a také WW2 kódovač) Alan Turing vyvinul teoretický objekt nazvaný Turing stroj. Turingův stroj je jako velmi základní počítač: používá nekonečnou řadu pásky a 3 symboly (např. 0, 1 a prázdné) a pak pracuje s danou sadou instrukcí. Pokyny by mohly být změny 0 až 1 a přesunutí mezerníku doleva nebo vyplnění políčka a přesunutí mezerníku napravo (například). Tímto způsobem by mohl být použit Turingův stroj pro provádění jakýchkoliv dobře definovaných funkcí.

Turing pak pokračoval popisovat univerzální soustružnický stroj, který je Turing stroj, který může napodobit nějaký Turing stroj s jakýmkoli vstupem. To je v podstatě pojem počítače s uloženým programem. Použitím jen matematiky a logiky, Turing vytvořil oblast počítačové vědy již předtím, než byla technologie dokonce možné, aby vytvořila skutečný počítač.

2

Různé úrovně nekonečnosti

Nekonečno je už dost náročné pojetí. Lidé nebyli schopni pochopit nikdy nekončící a z tohoto důvodu byli nekonečno matematiky vždy opatrní. Až do druhé poloviny 19. století vytvořil Georg Cantor větev matematiky známou jako Set teorie (pamatovat na Russellův paradox?), Teorii, která mu umožnila uvažovat o skutečné povaze Infinity. A to, co našel, byl skutečně mrzutý.

Jak se ukázalo, vždy, když si představujeme nekonečnost, vždy existuje jiný typ nekonečna, který je větší než to. Nejnižší úroveň nekonečna je množství celých čísel (1,2,3 ...) a je to počítatelná nekonečno. S některými velmi elegantními úvahami Cantor zjistil, že po tom je další úroveň nekonečnosti, nekonečno všech reálných čísel (1, 1.001, 4.1516 ... v podstatě libovolné číslo, na které si myslíte). Tento typ nekonečna je nespočetný, což znamená, že dokonce i kdybyste měli ve vesmíru celou dobu, nikdy byste nemohli vypsat všechna skutečná čísla v pořádku, aniž byste o ně chyběli. Ale počkejte - jak se ukáže, jsou po tom ještě další úrovně nespočetného nekonečna. Kolik? Samozřejmě nekonečné číslo.

1

Gödelova neúplnost

V roce 1931 rakouský matematik Kurt Gödel prokázal dvě teorémy, které otřásly matematickým světem k jeho jádru, protože společně ukazovaly něco naprosto dezertního: matematika není a nikdy nebude dokončena.

Bez toho, aby se dostal do technických detailů, ukázal Gödel, že v jakémkoli formálním systému (jako je systém přirozených čísel) existují jisté pravdivé prohlášení o systému, které nemohou být prokázány samotným systémem. V zásadě ukázal, že je nemožné, aby byl axiomatický systém zcela samostatný, což bylo proti všem předchozím matematickým předpokladům. Nikdy neexistuje uzavřený systém, který by obsahoval všechny matematické systémy, které se zvětšují a větší, protože se je neúspěšně snažíme je dokončit.