Top 10 Neznatelné věci

Existuje spousta věcí, které nevíme; osobně jsem opravdovou hrůzou nevědomosti. Existuje však rozdíl mezi věcmi, které neznáme, a věcmi, které nelze znát. Například nikdo neví, kdy se narodil Shakespeare (i když víme, když byl pokřtěn). Není však nemožné, abychom v budoucnu zjistili - mohl by být nalezen dlouhý ztracený dokument, který se zmiňuje o jeho narození, takže skutečný datum narození Shakespeara není neznámo, jen neznámé. Tento seznam obsahuje 10 věcí, které jsou v zásadě neznámé. Nejen, že jsou nyní neznámí, nemohou být nikdy známy.

Většina z nich je matematická; Snažil jsem se, aby to bylo co nejdůležitější - kromě jakéhokoli jiného, ​​nejsem žádný matematik, takže jsem se ho snažil natolik, abych to pochopil.

10

Sady a další sady

Neznámá věc: Co je v souboru sady, které se neobsahují?

Musíme udělat trochu matematiky pro některé z těchto položek! Toto je první na seznamu, protože v jistém smyslu začíná koncept "nepoznatelného" paradoxem, který objevil Bertrand Russell v roce 1901.

Začněme myšlenkou souboru. Soubor je sbírka objektů - například můžete mít množinu pozitivních sudých čísel, která obsahuje 2, 4, 6, 8 ... nebo sadu prvočísel obsahujících 2, 3, 5, 7, 11 ... tak daleko dobrý.

Lze sestavy obsahovat další sady? Ano, žádný problém - můžete mít sadu souborů, které obsahují další soubory - a tato sada by samozřejmě obsahovala sama sebe. Ve skutečnosti můžete rozdělit sady na dva typy - ty, které obsahují sebe a ty, které ne.

Takže, zvažte soubor (S, řekněme) sad, které se neobsahují. Obsahuje sama sebe? Pokud ano, pak by neměla být v sadě, ale pokud to tak není, tak by to mělo být. Takže S neustále skáče a sama o sobě.

Tento paradox způsobil spoustu zděšení mezi matematiky. Představte si, že by někdo dokázal, že číslo může být současně vyrovnané a podivné, je to stejně znepokojující. Způsoby se dostaly kolem paradoxu - v podstatě novou definicí teorie množin.

9

Grahamovo číslo

Bylo řečeno, že problém s vnímáním vesmíru je, že naše mozky se používají pouze k tomu, aby se zabývaly malým počtem, krátkými vzdálenostmi a krátkými obdobími. Grahamovo číslo je dostatečně velké, aby většina lidských mozků začala páře; je to opravdu velké; abychom to uvedli do kontextu, pojďme se podívat na některé takzvané velké čísla:

Většina lidí slyšela o googolu - pro většinu účelů je to velké číslo - 10 ^ 100, což je 1, následuje 100 nula.

Tam je mnohem větší čísla tam ale; googolplex je 1 následovaný nulami googol a matematik Stanley Skewes definoval čísla mnohem větší než googolplex.

Abychom je uvedli do kontextu, je nejmenší z nich (googol) ještě mnohem větší než počet částic ve vesmíru (kolem 10 ^ 87).

Grahamovo číslo však tyto "batolata" zaklepá ze země - používal ho Ronald Graham v nepochopitelné práci na multidimenzionálních hypercubech (je to horní hranice jednoho z řešení). Stačí říci, že je mnohem větší než čísla Skewesových a ve skutečnosti není vesmír dostatečně velký, aby ukládal tištěnou verzi. I kdyby každá číslice měla velikost elektronu. Dokonce ani blízko.

Opravdu úžasná věc o Grahamově čísle je, že je možné vypočítat posledních pár číslic a my víme, že končí v čísle 7.

8

Nejmenší celé číslo

Neznámá věc: Jaké je nejmenší kladné celé číslo, které není definováno v jedenácti slovech?

To je problém ve filozofii matematiky. Stačí, aby se věci trochu vyjasnily - celé číslo je celé číslo (1, 2, 3 atd.) A pro menší celá čísla je snadné je definovat slovy:

"Čtverec 2" = 4
"Jeden více než 4" = 5

… a tak dále. Nyní jako myšlenkový experiment - zvažte, kolik jedenácti slovných vět je - samozřejmě existuje hodně; ale je tam jen konečný počet slov (asi 750 000 v angličtině), takže existuje jen konečný počet jedenácti slovních vět - v určitém okamžiku byste vyčerpali a bylo by to celé číslo, které jste nedokázali definovat. Kromě toho, "Nejmenší kladné celé číslo, které není definováno v jedenácti slovech", obsahuje pouze deset slov, takže je můžete definovat pod jedenácti slovy.

Toto je nazýváno Berryho paradoxem a ve skutečnosti je to druh "ruky s rukama" s jazykem - my se jemně pohybujeme od pomenování čísel k popisu, ale pořád se nikdo nemůže dočkat tohoto čísla!

7

Software

Neznámá věc: Bude počítačový program někdy zastaven?

Když jsem seděl v učebně Pure Mathematics ve škole, bylo to běžné stížnosti, že to, co jsme se učili, bylo "zbytečné." Bohužel učitel jednoduše odpověděl slovy: "učíte se, protože je to na sylabu." Problém Turing Halting jako stupně-A zbytečné, zcela akademické ztráty času. Kromě toho, že to vedlo k vývoji digitálních počítačů.

Alan Turing byl anglický matematik a dítě zázračné, zejména v matematice. Jeho práce na počítačích byly zcela teoretické; on pracoval na myšlence popisovat matematické výkazy úplně numericky, aby mohly být zpracovány teoretickým výpočetním strojem. Přemýšlel o myšlence konceptu výpočetního stroje pro všeobecné účely (nyní nazývaného Turingovým strojem) jako myšlenkový experiment - nepředpokládal, že by někdo skutečně stavěl jeden.

Domníval se, že počítačový program musí buď běžet navždy, nebo zastavit.Dokázal, že není možné automaticky určit, co se stane - vím, že byste mohli tvrdit, že byste mohli "spustit program a uvidíte, co se stane" - ale předpokládá se, že se zastaví až za 7 bilionů let?

Trochu víc o Turingovi: jeho argumentace je obzvláště pozoruhodná, protože to udělal v roce 1936 - roky předtím, než byl postaven první digitální počítač. Druhá světová válka začala v roce 1939, ale Turing pracoval na kódování v Bletchley Parku již před rokem; snaží se dešifrovat německý kód Enigmy. Bylo jasné, že "manuální" přístup byl příliš pomalý a Turing specifikoval první dekódovací stroj (nazvaný Bombe), což vedlo k Colossovi - pravděpodobně prvnímu programovatelnému digitálnímu počítači, který by mohl automaticky procházet mnoha možnými "klíči". byl tak důležitý pro dešifrování, které zůstávaly tajné dlouho po skončení války; některé byly publikovány až v letošním roce - 60 let poté, co byly napsány.

6

Nepočítává

Neznámá věc: existují čísla, která nelze vypočítat.

To je další mysl, který dokazuje Alan Turing. Na začátku existuje více než jedno "nekonečno." Například, kolik pozitivních, celých čísel existuje? Proč je nekonečno - nikdy nezastaví. Kolik kladných, sudých čísel existuje? Totéž - pokud zdvojnásobíte kladné, celé číslo, získáte odpovídající číslo, takže musíte mít stejné číslo.

Dobře, kolik je skutečných čísel? Reálná čísla zahrnují všechny zlomky, iracionální čísla (např. Pi) a celé čísla (kladné nebo záporné). No, existuje mnohem víc, než je celé číslo - mezi celým číslem existuje nekonečné množství reálných čísel; takže počet reálných čísel je mnohem větší nekonečno než počet celých čísel.

Tento koncept je pevně zaveden; můžete rozumět takto:

Předpokládejme, že začnete psát počítačové programy pro generování reálných čísel, jedno pro každé reálné číslo.

Počítáte každý program; první je "1", druhá, "2" a tak dále - při počítání používáte kladná, celá čísla.

Problém spočívá v tom, že i když jste rádi, že napíšete nekonečný počet programů, nekonečno je mnohem menší než nekonečné množství reálných čísel, takže musí být mnoho (ve skutečnosti většina) reálných čísel chybí - to nemůže být vypočítané.

5

Pravda nebo lež?

Neznámá věc: V matematice existují pravdivé věci, které nelze dokázat - a nevíme, jaké to jsou.

Tato mozková veta byla vyvinuta Kurt Gödel. Koncept se datuje do roku 1900, kdy David Gilbert navrhl 23 "problémů" v matematice, které by chtěl vidět vyřešen v nadcházejícím století. Jedním z problémů bylo dokázat, že matematika byla konzistentní - což by bylo příjemné vědět. Nicméně v roce 1901 ho Gödel vytrhl z vody s jeho vědomostí o neúplnosti - podrobně zde neprocházím vědomím, částečně proto, že nerozumím úplným detailům, ale hlavně proto, že mi trvalo tři samostatné přednášky Dokonce jsem cítil, že se tam dostanu, takže pokud máte zájem: Wikipedia je váš přítel!

Stručně řečeno, teorém ukazuje, že nemůžete dokázat matematiku konzistentní pomocí matematiky (budete muset použít "meta-jazyk"). Dále ukázal, že v matematice existují pravdivé věci, které se nedají dokázat.

Když jsem se naučil větu, bylo navrženo, že slavná poslední věta Fermatova může být taková "pravda, kterou nelze dokázat," ale to bylo zkažené jako příklad, když Andrew Wiles prokázal skutečnost v roce 1995. Nicméně zde jsou pár věcí, které mohou být pravdivé, ale ne prokazatelné:

"Neexistuje žádné zvláštní číslo."

Perfektní číslo je pozitivní, celé číslo, jehož dělitelé se přidávají k sobě samému. Například 6 je perfektní číslo - 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6.

28 je další dokonalé číslo. Perfektní čísla se vyskytují zřídka a dosud bylo nalezeno pouze 41 dokonalých čísel. Nikdo neví, kolik existuje - ale je to mezi 41 a nekonečnem!

Dosud byly všechny dokonalé čísla dokonce, ale opět nikdo neví, jestli je ještě nějaký lichý, ale pokud existuje, je to velmi velké číslo; větší než 10 ^ 1500 - (1 s 1500 nulami po něm).

"Každé sudé číslo je součtem dvou prvků."

Prvotní číslo je pouze rozdělitelné samo o sobě nebo 1 a je zvědavý fakt, že doposud každé sudé číslo, které bylo testováno, je součtem dvou z nich - například: 8 = 5 + 3 nebo 82 = 51 + 31. Znovu , je známo, že je pravdivé pro mnoho čísel (až okolo 10 ^ 17) a je také známo, že čím vyšší číslo je, tím je pravděpodobnější, že je to prime, takže se zdá pravděpodobnější, čím vyšší dostanete, ale kdo má říci, že tam není opravdu velké číslo párné tam, kde to není pravda?

4

Co je pravda, člověče?

Stále ve světě dokazatelnosti se dostáváme k Tarksiově neurčitosti věty, ale k tantalizaci, zde je něco na pozadí Tarksiho.

Byl synem židovských rodičů, kteří se narodili v předválečném Polsku, a byl velmi šťastný. Narodil se Alfredem Teitelbaumem v roce 1901. V předválečném Polsku se rozšířil antisemitismus a v roce 1923 Alfred a jeho bratr změnili své příjmení na "Tarski" - jméno, které vytvořili, protože to "znělo více polské". Změnili také své náboženství od židovského po římský katolík - ačkoli Alfred byl ve skutečnosti ateista.

V pozdních třicátých letech se Tarski ucházel o několik profesorů v Polsku, ale byl odmítnut - naštěstí, jak se ukázalo. V roce 1939 byl pozván, aby se obrátil na konferenci v Americe, kterou pravděpodobně nezúčastnil, kdyby nedávno přijal profesuru.Tarski chytil poslední loď opustit Polsko před německou invazí následující měsíc. Nemyslel si, že "uniká" z Polska - opustil své děti, když si myslel, že se brzy vrátí. Jeho děti přežily válku a oni byli znovu v roce 1946, ačkoli většina jeho rozšířené rodiny byly zabity němečtí okupanti.

Zpět na větu: Tarski prokázal, že aritmetická pravda nemůže být definována v aritmetice. Také rozšířil to na jakýkoli formální systém; "Pravda" pro tento systém nemůže být definována v systému.

Je možné definovat pravdu pro jeden systém v silnějším systému; ale samozřejmě nemůžete definovat pravdu v tom silnějším systému, budete muset přejít k ještě silnějšímu systému - a tak dále, a neurčitě hledat nedosažitelnou pravdu.

3

Částice částic

Neznámé věc: Kde je tato částic a jak rychle to jde?

Zanecháváme matematický svět, který trpí mozkem, ale bohužel vstoupíme do ještě většího světa kvantové fyziky. Princip nejistoty vznikl při studiu sub-atomových částic a změnil, jak vidíme vesmír. Když jsem byl ve škole, učili jsme se, že atom je jako mini sluneční soustava se slunečním jádrem uprostřed s elektrony obíhajícími a elektrony jsou jako malé kuličky.

To je tak špatné - a jeden z klíčových objevů na cestě ukázat, že to byl Heisenbergův princip nejistoty. Werner Heisenberg byl německý teoretický fyzik, který úzce spolupracoval s dánským fyzikem Nielsem Bohrem ve 20. letech 20. století. Heisenbergovo odůvodnění jde takto:

Jak zjistím, kde je částic? Musím se na to podívat a podívat se na to musím osvětlit. Abych to osvětlil, musím na ni vypálit fotony, když foton zaútočí na částicu, částice se budou pohybovat fotony - a tak se snažím měřit její polohu, změním její polohu.

Z technického hlediska princip říká, že nemůžete poznat polohu a hybnost částice současně. Toto je podobné, ale není to stejné jako efekt "pozorovatele" v experimentu, kde existují experimenty, jejichž výsledky se mění v závislosti na tom, jak jsou pozorovány. Princip nejistoty je založen na mnohem pevnějších matematických podkladech a, jak jsem již zmínil, změnil způsob, jakým je vesmír viděn (nebo jak je vidět vesmír velmi malého). Elektrony jsou nyní považovány za pravděpodobné funkce spíše než s částicemi; můžeme spočítat, kde je pravděpodobné, že jsou, ale nikoliv tam, kde jsou - mohli by být kdekoliv.

Princip nejistoty byl poměrně kontroverzní, když byl oznámen; Einstein skvěle říkal, že "Bůh nehraje kostky s vesmírem", a to bylo v této době, že rozpad ve fyzice, který oddělil kvantovou mechaniku - který studuje velmi malé a makro fyziku, která studuje větší objekty a síly začaly. Tento rozkol je ještě třeba vyřešit.

2

Chaitinova konstanta

Chaitinova konstanta je příkladem toho, co se zdá matematikovi normální a rozumné, ale bláznivě znějícím ostatním z nás. Chaitinova konstanta je pravděpodobnost, že se zastaví náhodný počítačový program. Co je to bláznivé (vlastně jedna z mála věcí), je, že pro každý program existuje konstanta odlišná, takže existuje nekonečný počet hodnot pro tuto "konstantu" - což je obvykle zobrazeno jako řecká omega (Ω) . Druhá mírně bláznivá věc je, že není možné určit, co je Ω - je to nekompatibilní číslo, což je opravdová škoda - kdybychom mohli vypočítat Ω, pak bylo ukázáno, že většina neprokázaných problémů v matematice může být skutečně dokázána nebo vyvrácené).

1

Neznámá neznámá

Zatím jsme popsali věci, o kterých víme, že jsou neznámé (pokud to dává smysl). Konečná položka však popisuje věci, které mohou být pravdivé, ale nemohou být známy. Možná si myslíte, že bych se snažil najít příklad, ale zvažte následující:

Žijeme v rozšiřujícím se vesmíru; když se podíváme na jiné galaxie, od nás se zrychlují a zrychlují. Teď ve vzdálené budoucnosti (asi 2 biliony let od této chvíle) budou všechny ostatní galaxie tak daleko, že nebudou pozorovatelné (technicky se budou pohybovat tak rychle, že světlo bude roztaženo do záření gama s vlnové délky delší než vesmír jsou široké). Takže kdybyste byl astronom ve 2 bilionu let, nebyl by žádný způsob, jak vědět, že ve vesmíru existují miliardy dalších galaxií - a kdyby to někdo navrhl, posměšně se smějete a řekněte "ukaž mi důkazy; nemáš nic."

Takže, s ohledem na to, vráťte se k dnešnímu dni - možná existují opravdové věci o vesmíru, které nikdy nevíme. Doušek!

+

Nudný…

Neznámá věc: Existují nějakí nezajímaví lidé?

Je poměrně snadné tvrdit, že neexistují žádní nezajímaví lidé:

Zvažte sestavení seznamu nezajímavých lidí; jeden z těchto lidí bude nejmladší - a být nejmladší nezajímavou osobou je samo o sobě zajímavý - a proto by měli být ze seznamu vyřazeni. Nyní je nová nejmladší nezajímavá osoba, která může být také odstraněna ze seznamu a tak dále - dokud nebude seznam prázdný. Takže pokud se setkáš s někým, o čem si myslíš, že je nezajímavý, musíš být špatně.