Podíl:
Top 10 fascinujících skutečností o čísle Pi
Nejvíce známý fakt o pi-normálně zaokrouhlen na 3.14159 - je to, že představuje poměr obvodu kruhu k jeho průměru. Pi je také iracionální číslo, takže nemůže být napsáno jako jednoduchý zlomek. Pi je tedy nekonečně dlouhé a neopakující se desetinné čárky, což je jedno z nejzajímavějších a nejznámějších čísel známých člověku.
10První výpočet
První výpočet pi je věřil k byli získali Archimedes Syracuse kolem 220 př.nl. Archimedes odvodil vzorec A = pi r tím, že se přiblížil kruhové oblasti založené na ploše pravidelného polygonu zapsaného v kruhu a oblast polygonu, uvnitř kterého byla kružnice vymezena. Dva polygony tedy poskytovaly horní a spodní hranice pro oblast kruhu, což Archimedovi umožnilo přiblížit tomu, že chybějící kousek hádanky (pi) leží někde mezi 3 1/7 a 3 10/71.
Významný čínský matematik a astronomer Zu Chongzi (429-501) později počítá pi být 355/113, ačkoli přesně jak on byl schopný dosáhnout tohoto neuvěřitelně přesného měření zůstává záhadou, protože tam nejsou žádné záznamy o jeho práci.
Pravá oblast kruhu je neznámá
Johann Heinrich Lambert v 18. století dokázal, že pi je iracionální - nemůže být vyjádřeno jako frakce založená na celých číslech. Racionální čísla mohou být vždy zapsána jako zlomek, ve kterém jak čitatel, tak jmenovatel jsou celé čísla. Ačkoli by mohlo být lákavé vidět pi jako jednoduchý poměr obvodu / průměru (pi = C / D), vždy bude tomu tak, že jestliže průměr je celé číslo, obvod není celé číslo a naopak.
Iracionality pi znamenají, že nikdy nemůžeme skutečně poznat obvod (a následně oblast) kruhu. Tato frustrující a přesto zdánlivě nevyhnutelná skutečnost vedla některé matematiky k tomu, aby trvaly na tom, že je přesnější myslet na to, že kruh má nekonečné množství malých rohů, místo aby myslel na kruh jako "hladký".
8Výrobka jehly
Nejprve přinesl pozornost geometrikům a matematikům v roce 1777, Buffonova jehla je jedním z nejstarších a nejzajímavějších problémů v oblasti geometrické pravděpodobnosti. Zde je návod, jak to funguje.
Pokud byste hodili jednu délku jehly na list papíru s čárkami oddělenými stejnou jednotkovou délkou, pravděpodobnost, že jehla překročí jednu z čáry na stránce, je přímo spojena s hodnotou pi.
K poklesu jehly patří dvě proměnné: 1) úhel, kterým jehla spadá, a 2) vzdálenost od středu jehly k nejbližší lince. Úhel se může měnit od 0 do 180 stupňů a měří se na čárce rovnoběžné s čarami na papíře.
Ukazuje se pravděpodobnost, že jehla vyběhne tak, že řeže linku, je přesně 2 / pi nebo zhruba 64 procent. To znamená, že pi může být teoreticky vypočítávána pomocí této techniky, pokud má člověk dostatečnou trpělivost k tomu, aby seděl dostatečným počtem pokusů, přestože se zdá, že experiment nemá nic společného s kruhy nebo dokonce zaoblenými okraji.
To může být trochu obtížné představit, proto experimentujte s jevem zde.
7Pi a problém s pásem
Představte si, že vezmete stuhu a obalíte ji kolem Země. (Zjednodušeně předpokládejme, že Země je dokonalá koule s obvodem 24900 mil.) Nyní se pokuste zjistit potřebnou délku pásky, která by mohla obklopit Zemi ve vzdálenosti asi jednoho centimetru od jejího povrchu. Pokud instinktivně věříte, že druhá stuha bude muset být výrazně delší než první, nebudete sami. Byl byste však špatný. Ve skutečnosti by se druhá stuha zvětšila pouze o 2pi nebo zhruba o 6,28 palce.
Tady je to, jak se tento škrabák odděluje: Opět platí, že za předpokladu, že Země je dokonalá koule, lze ji považovat za obří kruh s obvodem 24 900 km u rovníku. To znamená, že poloměr by byl 24 900 / 2pi nebo zhruba 3 963 mil. Nyní by přidaná druhá páska, která se vznášela o palec nad zemským povrchem, měla mít o jeden centimetr delší poloměr než Země, což vede k rovnici C = 2 Pi (r + 1), která je ekvivalentní C = 2 Pi ) + 2 Pi. Z toho můžeme říci, že obvod druhé stuhy se zvýší o 2pi. Ve skutečnosti, bez ohledu na to, jaký je původní poloměr (ať už je to Země nebo basketbal), zvýšení poloměru o jeden palec bude vždy vést ke zvýšení o 2pi (jen 6,28 palce) v obvodu.
6Navigace
Pi hraje významnou roli v navigaci, zejména pokud jde o rozsáhlé globální umístění. Protože lidé jsou ve srovnání se Zemí poměrně malí, máme tendenci myslet na to, že cestování je lineární. Nicméně, když létají letadla, samozřejmě létají na oblouku kruhu. Cestu letu proto musíme vypočítat tak, aby přesně měřila dobu jízdy, spotřebu paliva atd. Navíc, když se ocitnete na Zemi pomocí zařízení GPS, pi musí v těchto výpočtech hrát důležitou roli.
A co navigace vyžaduje přesnější přesnost v ještě větších vzdálenostech než let z New Yorku do Tokia? Susan Gomez, manažerka subsystému Navigace a řízení vesmírné stanice pro NASA, prokázala, že většina výpočtů NASA spočívá v tom, že pi používá 15 nebo 16 číslic, a to zejména v případě, Systém / inerciální navigační systém (SIGI) - program, který řídí a stabilizuje kosmické lodě během misí.
5 Zpracování signálu a Fourierova transformace
Zatímco pi je nejlépe známý pro vytváření geometrických měření, jako je výpočet plochy kruhu, hraje rovněž významnou roli při zpracování signálu, a to hlavně prostřednictvím operace známé jako Fourierova transformace, která přeměňuje signál na kmitočtové spektrum. Fourierova transformace se nazývá "reprezentace kmitočtové domény" původního signálu, protože se týká jak kmitočtové domény, tak matematické operace, která spojuje frekvenční doménu s funkcí času.
Lidé a technologie využívají tohoto jevu vždy, když signál potřebuje základní konverzi, například když iPhone obdrží zprávu z věže buňky, nebo když vaše ucho rozlišuje mezi různými zvuky. Pi, který se objevuje prominentně ve Fourierově transformačním vzorku, hraje v procesu přeměny základní, ale poněkud tajemnou roli, protože spočívá v exponentu Eulerova čísla (známá matematická konstanta rovnající se 2,71828 ...)
To znamená, že pokaždé, když zavoláte na svůj mobilní telefon nebo posloucháte vysílaný signál, budete muset částečně poděkovat.
4Normální rozdělení pravděpodobnosti
Zatímco pi je poněkud očekáváno v operacích, jako je Fourierova transformace, která se zabývá primárně signály (a následně vlnami), může být překvapující, že pi hraje důležitou roli ve vzorci pro normální distribuci pravděpodobnosti. Nepochybně jste se setkal s touto notoricky známou distribucí - je zapojen do široké škály fenoménů, které vidíme pravidelně, od kolotočů až po testování skóre.
Kdykoliv uvidíte pí skrytý v komplexní rovnici, předpokládejme, že kruh je skrytý někde uvnitř matematické tkaniny. V případě normálního rozdělení pravděpodobnosti je pi doručeno prostřednictvím Gaussova integrálu (také známého jako integrál Euler-Poisson), který obsahuje druhou odmocninu pi. Ve skutečnosti stačí jen malé změny v proměnných v Gaussovském integrálu pro výpočet normalizační konstanty normálního rozdělení.
Jedna obyčejná, ale neúspěšná aplikace gaussovského integrálu zahrnuje "bílý šum", normálně distribuovanou náhodnou proměnnou používanou k předpovídání všeho od nárazů větru v rovině k vibračním paprskům během velkoplošných konstrukcí.
3Meandering řeky
Pi má fascinující a nečekaný vztah k meandrujícím řekám. Cesta řeky je většinou popsána jeho sinuozitou - její tendencí k větru ze strany na stranu, když protíná rovinu. To může být popsáno matematicky jako délka jeho vinutí cesty dělený délkou řeky od jeho zdroje k jeho ústům. Ukazuje se, že bez ohledu na délku řeky nebo kolik zvratů a obratů se jedná o cestu, průměrná řeka má sinuositu zhruba pi.
Albert Einstein učinil několik poznámek ohledně toho, proč se řeky chovají tímto způsobem. Všiml si, že voda proudí rychleji kolem vnějšího oblouku řeky, což vede k rychlejší erozi kolem břehu, což zase vytváří větší ohyb. Tyto větší ohyby se setkávají, což způsobuje, že řeka tvoří "zkratku". Toto vzpřímené a nepravidelné hnutí se neustále opravuje samo sebou, protože řeka je sinuozita se pohybuje zpátky k pi.
2Pi a Fibonacci sekvence
Během většiny historie byly pro výpočet pi použity pouze dva metody, jeden vynalezl Archimedes a druhý skotský matematik James Gregory.
Ukázalo se však, že pi lze také vypočítat pomocí sekvence Fibonacci. Každé další číslo v sekvenci Fibonacci je součtem předchozích dvou čísel. Sekvence začíná čísly 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 a pokračuje nekonečně. A protože arctangent 1 je pi / 4, znamená to, že pi může být vyjádřeno v číslech Fibonacci, přesouváním rovnice do arctanu (1) * 4 = pi.
Kromě toho, že je inherentně fascinující a krásná sada čísel, sekvence Fibonacci hraje důležitou roli v různých přírodních událostech v celém vesmíru. Může modelovat nebo popsat úžasnou paletu fenoménů, v matematice a vědě, umění a přírodě. Matematické myšlenky, ke kterým vedou Fibonacciho sekvence - jako je zlatý poměr, spirály a křivky - se již dlouho oceňují za svou krásu, ale matematici se stále snaží vysvětlit hloubku spojení.
1Kvalitní mechanika
Pi je nepochybně nevyhnutelná a složitá základna našeho světa, ale co vesmír na světě? Pi se projevuje po celém vesmíru a je skutečně zapojen do samotných rovnic, které se snaží vysvětlit povahu vesmíru. Ve skutečnosti mnoho vzorců používaných v oblasti kvantové mechaniky, která řídí mikroskopický svět atomů a jader, používá pi.
Snad nejslavnější z těchto rovnic jsou rovnice Einsteinových polí (také známá jednoduše jako Einsteinovy rovnice) - soubor 10 rovnic v Einsteinově obecné teorii relativity, která popisuje základní interakci gravitace jako výsledek časoprostoru zakřiveného hmotou a energie. Množství gravitace přítomné v systému je úměrné množství energie a hybnosti, přičemž konstanta proporcionality související s G je číselná konstanta.