10 Fakta z bizarního světa nekonečné matematiky

Koncem 19. století objevil německý matematik Georg Cantor "transfinitní" matematiku nebo matematiku za nekonečno. S touto ranou prací jsme byli představováni do světa, kde jsou čísla větší než nekonečno a rovnice, které nesledují pravidla zdravého rozumu aritmetiky. Stačí říci, že pravděpodobně není to, co jste se naučili na střední škole.

Cantorova práce byla zpočátku kontroverzní a vitriolicky napadla některá z nejdůležitějších matematických osobností svého dne. Nicméně, postupně přišel být přijat jako kánon a pomáhal připravit cestu pro teorii množin, která je sama o sobě potenciálním podkladem pro všechny matematiky.

10 Infinity Plus One (nebo dvě, nebo nekonečno) se rovná nekonečnosti

Ukazuje se, že toto staré dětství má něco na to. Vzhledem k povaze nekonečnosti se libovolný počet, který je přidán, odečten, vynásoben nebo rozdělen rovno nekonečno. To je vidět v klasickém nekonečnom puzzle známém jako Hilbertův hotelový paradox:

Je zde hotel, který má nekonečný počet pokojů. Přijíždí unavený cestovatel a požádá o pokoj, ale je informován, že všechny pokoje jsou obsazené. Jak může mít hotel více místností, protože má nekonečné pokoje? Co by měl cestující udělat?

Odpověď zní, že cestující by měl požádat o to, aby se osoba v pokoji jedna přesunula do druhé místnosti, osoba v pokoji č. 2 by se měla přesunout do třetího pokoje a tak dále ... a ona přijme místo jedna. Infinity je nekonečně pružná a může být roztažena nebo zmenšena jakýmkoli způsobem, aby vyhovovala všem, co potřebuje, ať už je to jeden cestovatel nebo googolplex (ano, to je skutečné číslo) cestující.

9 Existuje tolik lichých čísel (a tolik čísel, které končí v 123 nebo 423) Jak existují čísla

Nekonečno je tak tvárné, protože stejně jako Hilbertův hotel může být jakákoli série nekonečných čísel vkládána do toho, co je označováno jako "individuální korespondence" s nekonečnou částí této série. V termínech laiků to znamená, že pokud vezmete všechna kladná celé číslo (0, 1, 2, 3, 4 ...) a všechna kladná čísla (0, 2, 4, 6, 8 ...) být shodný se sudým číslem. Takže nula může být uzavřena nulou, jedna může být uzavřena dvěma, dvě může být porovnána se čtyřmi a tak dále.

Vzhledem k tomu, že dvě série (nebo "sady") čísel se shodují s každým číslem, můžeme odůvodnit, že mají stejnou velikost. Po svém slavném objevitelovi nazýval paradox Galileo, tento myšlenkový experiment ukazuje, že velikost nekonečna nemůže být změněna pomocí surových nástrojů základní aritmetiky jako dělení nebo přidání konečných čísel. Pro to potřebujete něco sofistikovanějšího.

8 Některé nekonečnosti jsou větší než jiné

Na druhé straně korespondence typu one-to-one je, že jestliže existuje nekonečná řada čísel, která ještě zbývají čísla poté, co byla spojena s jinou nekonečnou sérií, pak můžeme říci, že dřívější série infinit je ve skutečnosti větší než nekonečno, s nímž byla spojena. To se může zdát nemožné, ale pravděpodobně můžete intuitivně uchopit případ, kdy je to pravda: nekonečný počet celých čísel (0, 1, 2, 3 ...) je menší než nekonečný počet iracionálních čísel. Pokud si vzpomínáte na matematické gymnázium, iracionální čísla jsou čísla jako pi, které mají řadu desetinných míst, která trvají navždy (3.1415 ...). Cantor ukázal, že nekonečný počet iracionálních čísel je větší než nekonečný počet celých čísel pomocí geniálního, ale jednoduchého (relativně k nejvíce průlomovým matematickým důkazům) triku.

Začal tím, že předpokládá, že iracionální čísla mohou být spojena s celým číslem a zapsána řada čísel mezi nula a jedna. (Dobře, toto jsou moje vlastní náhodná čísla od mashing klávesnice, ale dostanete bod.) Existuje nekonečný počet těchto řádků:

0,1435 ... s 0
0,7683 ... se shoduje s 1
0.1982 ... shodné s 2
0,9837 ... shodné s 3

A tak dále. Poté můžete vytvořit číslo z této série tím, že vezmete první číslici v prvním řádku, druhou číslici ve druhém řádku a tak dále; pro výše uvedená čísla, by to bylo 0.1687 ...

Nyní by mohlo být číslo 0.1687 ... někde v tomto počtu čísel. Pokud však přidáte jeden číslici, číslo se stane 0.2798 ... a toto číslo nemůže být v zásobníku, protože se podle definice liší od libovolné z čísel v zásobníku nejméně o jednu číslici. Proto se po pokusu o sladění s normálními čísly stále vyskytují iracionální čísla. Proto můžeme říci, že nekonečný počet iracionálních čísel je větší než nekonečný počet celých čísel.

Pokud si myslíte, že je blázen, držte se na klobouku ...

7 Existuje nekonečně mnoho úrovní nekonečnosti

Cantor také ukázal, že stejně jako počet nekonečných celých čísel je na zcela odlišné úrovni nekonečnosti než počet iracionálních čísel, existuje také typ nekonečna, který je větší než počet iracionálních čísel, úroveň nekonečnosti nad to je další, nad tím, a tak dále, skrze (hádáte to) nekonečno. Navíc jakákoli úroveň nekonečnosti přidaná do vyšší úrovně nekonečnosti se automaticky sčítají na vyšší úroveň nekonečna stejným způsobem, jako nekonečno plus jedna rovná nekonečnu.

The Reader's Digest verze proč je to tak je, že můžete vzít nekonečnou sérii čísel (například 0, 1, 2, 3 ...) a potom vytvořit větší nekonečnou sérii tím, že zoberte počet všech různých možných kombinací čísla v původní sérii. V matematice se toto nazývá napájecí sada.Takže pro všechna čísla by síla neměla obsahovat pouze 1, 2, 3 ... ale také každá kombinace čísel v nekonečné řadě čísel včetně 1 miliardy a 1, 2, 13, 2 miliony ... atd. vyrobil jste první napájecí sadu, není důvod, proč nemůžete vyrobit napájecí sadu nebo napájecí sadu napájecí sady sady napájení ...

6 To všechno nakonec vedlo Georg Cantor Insane

Jak si dokážete představit, přemýšlení o tom všem může způsobit mnoho vašich smyslů pro skutečnost a to je přesně to, co se stalo s jejím objevitelem. Cantor věřil, že "další" úroveň nekonečnosti po celých číslech byla počet iracionálních čísel; jediný problém byl, že to nedokázal.

Tento slavný matematický problém označil hypotézu o kontinuu (nakonec jen začal říkat, že Bůh mu odhalil, že hypotéza o kontinuu je pravdivá), v kombinaci s krutými útoky na jeho práci nakonec vedl k psychologickému kolapsu a strávil zbytek jeho dny do az nemocnic, zatímco se snaží dokázat, že Francis Bacon napsal Shakespearovy hry.

5 Problém, který vedl Cantor Insane, je nerozpoznatelný

Někteří lidé se pokoušeli poskytnout přísný základ pro matematiku pomocí řady axiomů nebo výroků, které jsou údajně tak vnímavé, že mohou být důvěryhodné bez jakéhokoli předchozího vysvětlení. (Např.

V šedesátých letech matematik Paul Cohen prokázal, že hypotéza kontinua je nerozpoznatelná, pokud předpokládáme, že nejčastěji používané axiomy jsou pravdivé. Až dodnes se matematická práce nadále děje za předpokladu, že axiomy jsou pravdivé a že hypotéza kontinua je falešná, stejně jako reverzní předpoklad, že konvenční axiomy jsou pravdivé, stejně jako hypotéza kontinua. Matematici považují různé předpoklady o hypotéze kontinua za součásti různých "matematických vesmírů", protože nemůžeme dokázat, že jedna nebo druhá jsou pravdivá.

4 Symbol nekonečnosti, který Cantor zvolil, je hebrejský dopis

Stejně jako astronomové a biologové, matematici, kteří objeví nějaký nový koncept nebo důležitou hodnotu, získají alespoň nějaký vstup do toho, co bude jeho jméno. Vzhledem k takové síle byste si mysleli, že by dnes v matematice vysokých úrovní bylo více klingonských postav, ale ne. Stejně jako kreativní jako matematici, stěží se někdo z nich nechce odklonit od velmi obvyklých řeckých symbolů, což je důvod, proč různá řecká písmena mohou znamenat tolik různých věcí v závislosti na tom, který matematický obor používáte - prostě máme mnohem více matematických konstant a koncepty než řecké písmena.

Zatímco jeho náboženské pozadí je stále diskutováno historiky, Cantor viděl, co dělá jako způsob, jak se přiblížit k božské skrze matematiku, takže se rozhodl, že různé úrovně nekonečna by byly symbolizovány prvním písmenem v hebrejské abecedě: aleph. Sada všech čísel by byla aleph-nought nebo aleph s nulovým indexem. Další nejvyšší nekonečno by bylo aleph-one, což, jak jsme již zmínili, může nebo nemusí být počet iracionálních čísel.

3 Existuje úroveň nekonečnosti, v níž nekonečno plus jeden není rovný jeden plus nekonečno

Kromě čísel aleph Cantor také přišel s omega čísly. První číslo omega je definováno jako nejmenší číslo, které je větší než počet celých čísel, nebo první číslo po aleph-nought. Chcete-li čerpat z Hilbertova příkladu hotelu znovu, jestliže je počet pokojů aleph-nought, pak první číslo omega je chatrč u hotelu. Další omega číslo po tom je prostě omega plus jedna. Co to však znamená, že jeden plus omega je jiný než omega plus jeden, protože ten v první by byl prostě absorbován omega (protože nekonečno je tvárný), zatímco jeden po omega představuje další krok.

Naneštěstí pochopení více technických důkazů o tomto nahrazuje schopnosti tvého skromného autorského intelektu, ale četl jsem to v knize, takže to musí být pravda.

2 Infinity Minus Infinity není rovno nulové

Nekonečno bez nekonečna je nedefinováno stejným způsobem, jakým je dělení nulou nedefinováno.

Jako příklad toho, proč to je, od nekonečna plus jedna rovná se nekonečno ([nekonečno + 1] = [nekonečno]), pokud odčítáme nekonečno z obou stran, zůstáváme 1 = 0. Podobně a pro mnoho stejné důvody, nekonečno dělené nekonečno není jedno, ale je také nedefinováno.

1 Toto skutečně má vědecké aplikace v reálném světě

Stejně jako mnoho dalších oblastí v matematice, bylo zjištěno, že to, co začalo jako čistě teoretický myšlenkový experiment, má důsledky pro tvrdé vědy. Například některé kvantové mechaniky rovnice součet nekonečno; v praxi fyzici vyladí rovnici, aby provedly výpočty, ale není jasné, jestli je to opodstatněné, vzhledem k tomu, co víme o transfinitních matematikách.

V kosmologii, jestli je vesmír nekonečně velký, vesmír je nekonečně dělitelný, vesmír se navždy rozšiřuje, nebo zda existují nekonečné vesmíry jsou všechny otevřené otázky, které čerpají z nekonečné logiky. Někteří výzkumníci dokonce našli uplatnění hotelového paradoxu Hilbert v kvantové a klasické optice.